Développements d'agrégation
Sur cette page, on peut retrouver les développements que j'ai préparé pour l'agrégation de Mathématiques (option probabilités et statistiques) durant l'année 2015-2016. Ils sont pour la plupart très classiques, et constituent une appropriation personnelle de ces démonstrations mathématiques très classiques. Ces développements ont pour la plupart été tapés nocturnement entre les 10 et 15 juin 2016 ; afin de ne pas perdre trop de temps à la rédaction, ils ne comportent ni figure, ni dessin et j'invite fortement le lecteur à s'aider d'une figure, notamment pour les développements de géométrie qui seraient de toute manière incompréhensibles sinon. Il faut noter que l'écriture des développements a été plus une épreuve mnémotechnique qu'un véritable exercice de rédaction. Ils sont donc évidemment plein de coquilles et autres erreurs. N'hésitez pas à me mentionner celles que vous repérez. J'espère que ces documents pourront servir à des agrégatifs futurs.Développements d'algèbre et de géométrie
- Algorithme de Berlekamp.
- Automorphismes de K(X).
- Décomposition polaire.
- Décomposition effective de Dunford.
- Ellipse de Steiner.
- Théorème de Gauss-Wantzel.
- Groupe circulaire.
- Groupe de isométries du cube.
- Théorème des invariants de similitude.
- Irréductibilité des polynômes cyclotomiques.
- Décomposition PLU.
- Multiplication des polynômes par transformée de Fourier rapide (FFT).
- Une preuve de la loi de réciprocité quadratique.
- Simplicité du groupe SO3(R).
- Sous-espace stables par translation de l'ensemble des fonctions continues.
- Sous groupes compacts du groupe linéaire réel.
- Structure des groupes abéliens finis.
- Table des caractères de S4.
- Théorème de Brauer sur les matrices de permutation.
- Théorème des deux carrés.
Développements d'analyse
- Théorème de Cauchy-Lipschitz linéaire.
- Théorème central-limite.
- Complétude des espaces Lp.
- Densité des polynômes orthogonaux.
- Dualité en optimisation lineaire.
- Exercice 4 du Gourdon. (sur des équivalents de séries entières au bord du disque)
- Formule des compléments.
- Théorème de Glivenko-Cantelli.
- Méthode du gradient à pas optimal.
- Théorème de Hadamard-Lévy.
- Calcul de l'intégrale de Dirichlet.
- Théorème de stabilité de Lyapunov.
- Méthode de Newton pour les polynômes.
- Théorème de récurrence/transience des marches aléatoires de Polya.
- Théorème d'échantillonnage de Shannon.
- Théorème de Stone-Weierstrass.
- Théorème de Weierstrass par les polynômes de Bernstein.
- Théorème de point fixe de Brouwer.